Equação de 2º Grau: Bhaskara, como resolver, exercícios

As equações de 2º grau são fundamentais na matemática, caracterizadas pela presença de um termo quadrático. Elas têm a forma geral $ax^2 + bx + c = 0$, onde $a$, $b$ e $c$ são coeficientes reais, com $a \neq 0$. Essa estrutura permite que as equações representem uma variedade de situações práticas e teóricas, sendo cruciais para a resolução de problemas em diversas áreas como física, engenharia e economia. E cai muuito no vestibular e ENEM ⭐

Entendendo os Componentes da Equação de 2º Grau

Para resolver e entender completamente as equações de 2º grau, é crucial conhecer seus componentes. Uma equação do tipo $ax^2 + bx + c = 0$, onde $a \neq 0$, é composta por três principais coeficientes:

• $a$ (coeficiente quadrático): Este é o coeficiente que acompanha o termo $x^2$. Ele é fundamental porque determina a concavidade da parábola representada pela equação no plano cartesiano. Se $a > 0$, a parábola tem concavidade para cima; se $a < 0$, a concavidade é para baixo.

• $b$ (coeficiente linear): O coeficiente do termo $x$. Influencia a inclinação da parábola e, juntamente com $a$ e $c$, afeta a posição da parábola no gráfico.

• $c$ (termo constante): Representa o valor fixo da equação. É o ponto onde a parábola intercepta o eixo $y$ no gráfico.

Outro conceito fundamental é o Delta ($\Delta$), dado pela fórmula $\Delta = b^2 - 4ac$. O valor de $\Delta$ é determinante para entender a natureza das raízes da equação de 2º grau:

• Se $\Delta > 0$, a equação possui duas raízes reais e distintas.
• Se $\Delta = 0$, a equação possui uma raiz real dupla.
• Se $\Delta < 0$, a equação não possui raízes reais.

Métodos de Resolução de Equações de 2º Grau

Resolução por Fatoração

O método de fatoração envolve reescrever a equação quadrática na forma de um produto de binômios que, quando igualados a zero, revelam as raízes da equação. Esse método é eficaz quando a equação pode ser facilmente decomposta em fatores. ➗

Conceito e passo a passo:

1. Primeiro, é necessário que a equação esteja na forma padrão $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Em seguida, procuramos dois números que, multiplicados, dão o produto $ac$ e, somados, dão $b$.
3. Usamos esses números para escrever $bx$ como a soma de dois termos e, então, fatoramos a expressão.

Completando o Quadrado

Este método transforma a equação quadrática em uma forma que facilita a visualização das raízes, completando um quadrado perfeito na equação. ⏹️

Explicação do método:

1. Certifique-se de que o coeficiente de $x^2$ seja 1. Se não for, divida toda a equação por $a$.
2. Transfira o termo constante $c$ para o lado oposto da equação.
3. Adicione e subtraia (dentro da equação) o quadrado da metade do coeficiente de $x$.

Exemplo prático: Vamos resolver a equação $x^2 - 6x + 8 = 0$ completando o quadrado.

1. A equação já está com o coeficiente de $x^2$ igual a 1.
2. Subtraímos 8 de ambos os lados: $x^2 - 6x = -8$.
3. O coeficiente de $x$ é -6, então metade dele é -3, e o quadrado de -3 é 9. Adicionamos e subtraímos 9: $x^2 - 6x + 9 = 1$.
4. Agora temos $(x-3)^2 = 1$, então $x-3 = \pm\sqrt{1}$, o que dá $x = 3 \pm 1$.
5. As raízes são $x = 4$ e $x = 2$.

Utilizando a Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é uma maneira direta de encontrar as raízes de qualquer equação quadrática. 🔼

Detalhamento da fórmula: A fórmula é dada por $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, onde $\Delta = b^2 - 4ac$.

Como calcular o Delta:

1. Com os valores de $a$, $b$, e $c$ em mãos, substituímos na expressão $\Delta = b^2 - 4ac$.
2. O valor obtido para $\Delta$ nos indica a natureza das raízes da equação quadrática:
   • Se $\Delta > 0$, há duas raízes reais e distintas.
   • Se $\Delta = 0$, há uma única raiz real (raízes reais e iguais).
   • Se $\Delta < 0$, as raízes são complexas e não reais.

Questão resolvida

(ENEM 2016) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número $f$ de infectados é dado pela função $f(t) = −2t²+ 120t$ (em que $t$ é expresso em dia e $t = 0$ é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.

A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.

A segunda dedetização começou no:

A) 19º dia.

B) 20º dia.

C) 29º dia.

D) 30º dia.

E) 60º dia.

Para encontrar o dia em que a segunda dedetização deveria ser feita, usamos a função fornecida $f(t) = -2t^2 + 120t$, com a condição de $f(t) = 1600$. Substituindo 1600 na função, temos:

Reorganizando a equação para a forma padrão de uma equação quadrática, obtemos:

Dividindo todos os termos por $-2$ para simplificar, chegamos a:

Agora, aplicaremos a fórmula de Bhaskara, onde $a = 1$, $b = -60$, e $c = 800$. A fórmula é dada por:

Substituindo os valores de $a$, $b$, e $c$ na fórmula, temos:

Simplificando os termos dentro da raiz quadrada:

Calculando os valores de $t$:

• Para $+$: $t = \frac{60 + 20}{2} = 40$
• Para $-$: $t = \frac{60 - 20}{2} = 20$

Portanto, a segunda dedetização deveria ter começado no 20º dia, correspondendo à opção B) 20º dia.

Finalizando aqui...

Encerrando nossa jornada sobre equações de 2º grau do Enem, espero que as explicações tenham ajudado a esclarecer como abordar esse tipo de problema matemático. Mas não se engane, dominar matemática ou qualquer outra matéria do vestibular vai além de entender um único problema. É aqui que entra o VestCards, uma ferramenta inovadora projetada para transformar sua preparação para o vestibular.

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